\chapter{索末菲椭圆轨道理论推导（1916）}

	\begin{abstract}
		本文详细推导了阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）于1916年提出的量子化椭圆轨道理论。通过将玻尔量子化条件推广到多维周期系统，索末菲在极坐标系中建立了相对论性电子椭圆轨道的量子化规则，给出了能级精细结构的理论解释。推导过程展示了如何将经典力学中的作用量变量与量子条件相结合，为旧量子论的发展奠定了重要基础。
		
		\textbf{关键词}：索末菲量子化；椭圆轨道；旧量子论；精细结构；作用量变量
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1916年，索末菲将玻尔的圆轨道量子化理论推广到椭圆轨道情形\cite{sommerfeld1916}。通过引入两个量子数$n_r$和$n_\phi$（分别对应径向和角向自由度），并考虑相对论效应，他成功解释了氢原子能级的精细结构。这一工作标志着旧量子论发展的重要里程碑。
	
	\section{数学补充}
椭圆积分表达式：
\begin{equation}
	\int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{(x-x_1)(x_2-x)}}{x} \dd x = \frac{\pi}{2}(x_1 + x_2) - \pi\sqrt{x_1x_2}
\end{equation}
其中$x_1,x_2$为积分限的根。

	\section{理论推导}
	
	\subsection{极坐标系中的哈密顿量}
	在极坐标$(r,\phi)$下，类氢原子的哈密顿量为：
	\begin{equation}\label{eq:GravityIntoElectric}
		H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\phi^2}{2mr^2} - \frac{Ze^2}{r}
	\end{equation}
	其中$p_r = m\dot{r}$为径向动量，$p_\phi = mr^2\dot{\phi}$为角动量（守恒量）。
	
	\subsection{作用量变量的量子化}
	索末菲推广的量子化条件为：
	\begin{align}
		\oint p_r \dd r &= n_r h \label{eq:radial} \\
		\oint p_\phi \dd \phi &= n_\phi h \label{eq:angular}
	\end{align}
	其中$n_r,n_\phi \in \mathbb{Z}^+$，且主量子数$n = n_r + n_\phi$。
	
	\subsection{椭圆轨道的解析解}
	利用$p_\phi$守恒和轨道方程，可得径向动量的表达式：
	\begin{equation}
		p_r = \sqrt{2mE + \frac{2mZe^2}{r} - \frac{p_\phi^2}{r^2}}
	\end{equation}
	
	将(\ref{eq:radial})式积分，利用留数定理得到：
	\begin{equation}
		\int_{r_{\text{min}}}^{r_{\text{max}}} \sqrt{2mE + \frac{2mZe^2}{r} - \frac{p_\phi^2}{r^2}} \dd r = n_r h
	\end{equation}
	
	通过变量代换$x=1/r$，积分可化为：
	\begin{equation}
		\oint \sqrt{\frac{2mE}{x^2} + \frac{2mZe^2}{x} - p_\phi^2} \frac{\dd x}{x^2} = n_r h
	\end{equation}
	
	\subsection{量子化能量}
	最终得到量子化能量：
	\begin{equation}
		E_n = -\frac{me^4Z^2}{2\hbar^2(n_r + n_\phi)^2}
	\end{equation}
	对比波尔电子能量：
	\begin{equation}
	E_n = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}
\end{equation}
	得到：
	\begin{equation}
	-\frac{me^4Z^2}{2\hbar^2(n_r + n_\phi)^2} = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} 
\end{equation}

	\begin{equation}
	-\frac{me^4Z^2}{2\hbar^2(n_r + n_\phi)^2} = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} 
\end{equation}
	椭圆轨道的偏心率由量子数比决定：
	\begin{equation}
		\epsilon = \sqrt{1 - \frac{n_\phi^2}{(n_r + n_\phi)^2}}
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论修正}
	考虑相对论效应后，哈密顿量修正为：
	\begin{equation}
		H = \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2} - \frac{Ze^2}{r} - mc^2
	\end{equation}
	通过微扰计算得到精细结构：
	\begin{equation}
		\Delta E = \frac{E_n^2}{mc^2}\left(\frac{3}{4} - \frac{n}{n_\phi}\right)
	\end{equation}
	\section{索末菲精细结构常数推导}
\author{李国斌量子物理笔记}
\date{2025.08.18}

\section{玻尔模型的扩展}
索末菲在玻尔原子模型基础上引入两个关键修正：
\begin{itemize}
	\item 相对论效应：电子速度接近光速时质量变化
	\item 椭圆轨道量子化：推广单一圆形轨道的限制
\end{itemize}

\section{精细结构常数的推导}
\subsection{相对论修正}
电子总能量表达式：
\begin{equation}
	E = \sqrt{(m_ec) + (pc)} - \frac{e}{4\pi\epsilon_0 r}
\end{equation}

\subsection{量子化条件}
推广的量子化积分：
\begin{equation}
	\oint p_r \dd{r} = n_r h, \quad \oint p_\theta \dd{\theta} = n_\theta h
\end{equation}
其中$n_r$和$n_\theta$分别为径向和角向量子数。

\subsection{能量级展开}
通过泰勒展开得到能级修正项：
\begin{equation}
	\Delta E = -\frac{E_n}{2m_ec}\left(\frac{4n}{j+1/2} - 3\right)
\end{equation}

\section{常数定义}
最终导出无量纲常数：
\begin{equation}
	\alpha \equiv \frac{e}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137}
\end{equation}
该常数表征：
\begin{itemize}
	\item 电磁相互作用强度
	\item 能级分裂的相对大小
	\item 相对论效应的量级
\end{itemize}
	
	\section{结论}
	索末菲的椭圆轨道理论将量子化条件推广到多维周期系统，不仅解释了氢原子光谱的主线系，还预言了精细结构。尽管该理论后来被更完备的量子力学所取代，但其作用量量子化的思想在现代量子理论中仍具有深远影响。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{sommerfeld1916} 
		A. Sommerfeld. 
		\textit{Zur Quantentheorie der Spektrallinien}. 
		Annalen der Physik, 51(17):1-94, 1916.
		
		\bibitem{pais1986}
		A. Pais. 
		\textit{Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World}. 
		Oxford University Press, 1986. (中译本《基本粒子物理学史》)
		
		\bibitem{terhaar1967}
		D. Ter Haar. 
		\textit{The Old Quantum Theory}. 
		Pergamon Press, 1967.
	\end{thebibliography}
	
	\chapter{1916年,索末菲椭圆轨道理论与精细结构常数的推导}
		
		\begin{abstract}
			本文详细分析了阿诺德·索末菲(Arnold Sommerfeld)在1916年提出的相对论性修正的椭圆轨道理论。通过将玻尔的量子化条件推广到椭圆轨道情形，并引入相对论修正，索末菲成功解释了氢原子光谱的精细结构。本文重现了精细结构常数的推导过程，展示了量子理论与相对论的早期结合如何解决了玻尔模型无法解释的实验现象。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		1913年尼尔斯·玻尔提出的原子模型虽然成功解释了氢原子光谱的主要特征，但仍无法说明观测到的精细结构。1916年，索末菲通过两个关键改进扩展了这一理论：
		\begin{itemize}
			\item 将量子化条件推广到椭圆轨道
			\item 引入相对论性质量修正
		\end{itemize}
		
		这些改进不仅解释了观察到的精细结构分裂，还引入了一个重要的无量纲常数——精细结构常数$\alpha$。
		
		\section{椭圆轨道的量子化}
		\subsection{广义量子化条件}
		索末菲将玻尔的角动量量子化条件推广为作用量积分：
		
		\begin{equation}
			\oint p_i dq_i = n_i h \quad (n_i \in \mathbb{Z})
		\end{equation}
		
		对于极坐标$(r,\phi)$中的平面椭圆轨道，对应两个量子数：
		\begin{align}
			\oint p_\phi d\phi &= n_\phi h \label{eq:angular} \\
			\oint p_r dr &= n_r h \label{eq:radial}
		\end{align}
		
		其中$n_\phi$为角量子数，$n_r$为径向量子数。
		
		\subsection{轨道参数量子化}
		对于库仑势$V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$，可以得到：
		
		\begin{align}
			a &= \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2}(n_r + n_\phi)^2 \label{eq:semi-major} \\
			\epsilon &= \sqrt{1 - \frac{n_\phi^2}{(n_r + n_\phi)^2}} \label{eq:eccentricity}
		\end{align}
		
		其中$a$为半长轴，$\epsilon$为轨道偏心率，$\mu$为约化质量。
		
		\section{相对论修正与精细结构}
		\subsection{相对论性动量修正}
		索末菲考虑了电子速度接近光速时的相对论效应：
		
		\begin{equation}
			p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
		\end{equation}
		
		系统的总能量需写为：
		
		\begin{equation}
			E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}
		\end{equation}
		
		\subsection{精细结构常数的出现}
		通过将相对论性运动方程与量子化条件结合，可以得到能级修正：
		
		\begin{equation}
			E_{n,j} = - \frac{m_e c^2 \alpha^2}{2n^2} \left[ 1 + \frac{\alpha^2}{n} \left( \frac{1}{j + 1/2} - \frac{3}{4n} \right) + \mathcal{O}(\alpha^4) \right]
		\end{equation}
		
		其中出现了精细结构常数：
		
		\begin{equation}
			\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c} \approx \frac{1}{137}
		\end{equation}
		
		\section{结论}
		索末菲的推导具有重要历史意义：
		\begin{itemize}
			\item 首次将相对论引入量子理论
			\item 预言了精细结构分裂
			\item 引入的精细结构常数成为量子电动力学的基本参数
		\end{itemize}
		
		尽管后来被完整的量子力学理论取代，索末菲模型仍代表了旧量子论的最高成就之一。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{sommerfeld1916} 
			Sommerfeld, A. (1916). 
			\textit{Zur Quantentheorie der Spektrallinien}. 
			Annalen der Physik, 356(17), 1-94.
			
			\bibitem{griffiths2005}
			Griffiths, D. J. (2005).
			\textit{Introduction to Quantum Mechanics}.
			Pearson Education.
			
			\bibitem{schwabl2008}
			Schwabl, F. (2008).
			\textit{Quantum Mechanics}.
			Springer.
		\end{thebibliography}
		
		\chapter{经典与相对论框架下的精细结构常数比较研究}
				
			\begin{abstract}
				本文系统推导了经典电磁理论与相对论量子理论中的精细结构常数表达式。通过对比两种理论框架下$\alpha$的物理内涵和数值结果，揭示了相对论修正的微妙影响。特别指出在玻尔轨道速度$v=\alpha c$下，经典理论与相对论结果的差异仅为$\alpha^2/2$量级，这解释了早期光谱实验中经典理论近似有效的深层原因。
			\end{abstract}
			
			\section{经典电动力学中的$\alpha$}
			\subsection{轨道速度与光速比}
			在玻尔模型中，电子基态轨道速度为：
			
			\begin{equation}
				v_1 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar} = \alpha c
			\end{equation}
			
			这直接定义了经典精细结构常数：
			
			\begin{equation}
				\alpha_{\text{classical}} = \frac{v_1}{c} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}
			\end{equation}
			
			\subsection{经典辐射场的能量比}
			考虑电子静能与轨道上辐射场能量之比：
			
			\begin{equation}
				\frac{E_{\text{rad}}}{m_e c^2} = \frac{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 a_0}}{m_e c^2} = \alpha^2
			\end{equation}
			
			其中玻尔半径$a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}$。
			
			\begin{figure}[h]
				\centering
				\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
					\draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right]{理论框架};
					\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above]{$\alpha$表达式};
					\draw (0.5,1.5) node{classical} -- (3.5,1.5) node[right]{$\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}$};
					\draw[red] (0.5,2.2) node{relativistic} -- (3.5,2.2) node[right]{$\dfrac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar c}\left(1 - \dfrac{\alpha^2}{2n^2}\right)$};
					\draw[<->] (2,1.5) -- node[right]{$\mathcal{O}(\alpha^2)$} (2,2.2);
				\end{tikzpicture}
				\caption{经典与相对论框架下精细结构常数的对比}
				\label{fig:alpha_compare}
			\end{figure}
			
			\section{相对论修正的定量分析}
			\subsection{相对论动能展开}
			相对论动能表达式：
			
			\begin{equation}
				T = (\gamma - 1)m_e c^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-\alpha^2}} - 1\right)m_e c^2 \approx \frac{1}{2}m_e v^2 + \frac{3}{8}\frac{m_e v^4}{c^2}
			\end{equation}
			
			对于基态$v=\alpha c$，相对论修正项：
			
			\begin{equation}
				T_{\text{rel}} - T_{\text{class}} \approx \frac{3}{8}m_e c^2 \alpha^4
			\end{equation}
			
			\subsection{能级修正比例}
			相对论总能量修正：
			
			\begin{equation}
				\frac{\Delta E}{E} \approx \frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{1}{n_\phi} - \frac{3}{4n}\right)
			\end{equation}
			
			对于氢原子基态($n=1,n_\phi=1$)：
			
			\begin{equation}
				\left.\frac{\Delta E}{E}\right|_{\text{rel}} \approx \frac{\alpha^2}{4} \approx 1.33 \times 10^{-5}
			\end{equation}
			
			\section{误差分析与实验验证}
			\subsection{速度依赖的误差函数}
			定义相对论修正因子：
			
			\begin{equation}
				f(\alpha) = \sqrt{1-\alpha^2} \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha^4}{8}
			\end{equation}
			
			经典理论忽略的高阶项：
			
			\begin{equation}
				\delta = \frac{\alpha^2}{2} + \frac{\alpha^4}{8} \approx 2.66 \times 10^{-5}
			\end{equation}
			
			\subsection{光谱实验数据对比}
			\begin{table}[h]
				\centering
				\caption{氢原子$H_\alpha$线($n=3\to2$)的观测值与理论预测}
				\begin{tabular}{ccc}
					\hline
					& 经典理论 & 相对论理论 \\
					\hline
					波长(nm) & 656.210 & 656.285 \\
					分裂间距($\times10^{-3}$nm) & 0 & 0.326 \\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{table}
			
			\begin{figure}[h]
				\centering
				\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
					\definecolor{classical}{RGB}{0,100,200}
					\definecolor{relativistic}{RGB}{200,0,0}
					\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$v/c$};
					\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above]{能量误差};
					\draw[domain=0:0.1,smooth,variable=\x,classical] plot ({\x*50},{0.5*\x*\x*50}) node[right]{经典理论};
					\draw[domain=0:0.1,smooth,variable=\x,relativistic] plot ({\x*50},{0.5*\x*\x*50 + 0.125*\x*\x*\x*\x*50}) node[right]{相对论理论};
					\draw[dashed] (0,0.1*50) -- (5,0.1*50) node[midway,above]{$\alpha$位置};
				\end{tikzpicture}
				\caption{不同速度下理论误差的变化趋势}
				\label{fig:error}
			\end{figure}
			
			\section{结论}
			通过系统分析发现：
			\begin{itemize}
				\item 经典理论在$\alpha \approx 1/137$时误差仅$\alpha^2/2 \approx 2.66\times10^{-5}$
				\item 相对论修正主要贡献来自$\alpha^2$项
				\item 早期光谱仪分辨率$\sim 10^{-4}$nm时，经典理论预测与实验基本吻合
				\item 更高精度实验才揭示必须考虑相对论效应
			\end{itemize}
			
			\begin{thebibliography}{9}
				\bibitem{sommerfeld1916} 
				Sommerfeld, A. (1916). 
				\textit{Zur Quantentheorie der Spektrallinien}. 
				Annalen der Physik, 356(17), 1-94.
				
				\bibitem{jackson1999}
				Jackson, J. D. (1999).
				\textit{Classical Electrodynamics}.
				Wiley.
				
				\bibitem{griffiths2005}
				Griffiths, D. J. (2005).
				\textit{Introduction to Quantum Mechanics}.
				Pearson Education.
			\end{thebibliography}
			
